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灰度共生矩阵(Grey Level Co-occurrence Matrix, GLCM)

2019-07-29
Jarvis
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粗糙, 柔和, 凹凸不平这些词汇常用来描述人对某些材质的触感, 这种触感是由于材质表面的颗粒高低不平的幅度导致的. 不同大小的手指触碰到不同的材质(材料表面高低点的差距和其空间距离)会产生不同的触感.

纹理特征

下图是一种粗糙的质感.

图 1: 粗糙的纹理

下图是一种光滑, 柔和的质感.

图 2: 光滑的纹理

图像的纹理是类似的, 材料表面的高低不同的点反映在图像中是像素值也称为灰度值(grey levels, GL). 而用手指触碰材料的一块区域在图像中用一个方框表示, 探测一个小方框内的纹理信息, 方框的大小可以按需求定义.

GLCM 灰度共生矩阵

为了简单我们使用一个大小为 \(4\times 4\) 的灰度图, 像素值用 2bit 表示, 即只有四种取值 0, 1, 2, 3. 如下图所示.

图 3: 示例图片

对应每个像素的灰度值为

\[\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 & 3 \\ \end{matrix}\]

GLCM 纹理特征考虑的是固定位置关系的两个像素值在图像中出现的频率. 比如考虑 (1, 0) 位置关系, 把它看作一个向量, 那么向量的头尾恰好对应了图像中的两个具有该位置关系的像素. 如下图, (红色–>蓝色) 表示的就是像素值对, 在选定 (1, 0) 位置关系时的 GLCM 统计的就是所有可能出现的像素值对在图像中出现的频率.

\[\begin{matrix} 0 & \color{red}{0} & \color{blue}{1} & 1 \\ \color{red}{0} & \color{blue}{0} & 1 & 1 \\ 0 & 2 & \color{red}{2} & \color{blue}{2} \\ 2 & 2 & 3 & 3 \\ \end{matrix}\]

由于我们这里的像素值只有四种选择, 因此所有的像素值对的频率可以形成一个 \(4\times4\) 的矩阵. 我们把第一个像素称为参考像素, 第二个像素称为邻居像素. 我们统计一下像素值对 (0, 0), (0, 1), (2, 2) 出现的数量

\[\begin{matrix} \color{green}{0} & \color{green}{0} & 1 & 1 \\ \color{green}{0} & \color{green}{0} & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 & 3 \\ \end{matrix}\qquad\qquad \begin{matrix} 0 & \color{blue}{0} & \color{blue}{1} & 1 \\ 0 & \color{blue}{0} & \color{blue}{1} & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 & 3 \\ \end{matrix}\qquad\qquad \begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & \color{red}{2} & \color{red}{2} & \color{red}{2} \\ \color{red}{2} & \color{red}{2} & 3 & 3 \\ \end{matrix}\]

(0, 0) 出现了两次, (0, 1)出现了两次, (2, 2)出现了三次. 因此上图对于 (1, 0) 位置关系的 GLCM 为

\[\begin{equation}\label{eq:1} \begin{array}{c|cccc} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & \color{green}{2} & \color{blue}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & \color{red}{3} & 1 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\end{equation}\]

其中左边一列表示像素值对中的参考像素, 上边一行表示邻居像素, 中间的矩阵为 GLC 矩阵.

GLCM 的特性

  1. GLCM 是方阵, 因为参考像素的取值范围和邻居像素的取值范围一样.
  2. GLCM 的行数和列数等于图像像素值的灰度范围. 如果使用量化技术, 则等于量化后的等级数量. 比如示例图像是 2bit 的, 那么灰度等级有 \(2^2=4\) 个. 通常的灰度图像是 8bit 的, 灰度等级有 \(2^8=256\) 个, 那么 GLCM 就是一个 \(256\times256\) 的矩阵.
  3. 我们希望 GLCM 是对称阵, 这样方便纹理特征的计算, 因此为了使 GLCM 是对称阵, 只需要在使用位置关系 (1, 0) 时把位置关系 (0, 1) 的也加到一起即可. 为了简单计算, 只需要把 \(\eqref{eq:1}\) 式加上其转置矩阵即可:
\[\begin{equation}\label{eq:2} \begin{array}{c|cccc} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 4 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 6 & 1 \\ 3 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ \end{array}\end{equation}\]

把 GLCM 表示为概率

表示为概率的办法就是对 GLCM 进行归一化:

\[P_{ij} = \frac{e_{i,j}}{\sum_{m,n=0}^{N-1}e_{m,n}}.\]

因此 \(\eqref{eq:2}\) 式的归一化矩阵形式为

\[\begin{equation}\begin{array}{c|cccc} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 0.166 & 0.083 & 0.042 & 0 \\ 1 & 0.083 & 0.166 & 0 & 0 \\ 2 & 0.042 & 0 & 0.250 & 0.042 \\ 3 & 0 & 0 & 0.042 & 0.083 \\ \end{array}\end{equation}\]
  • 对角元表示像素值对元素相等, 如果对角线上是高概率值则表明图像整体的灰度变化不大.
  • 次对角线(这是平行于对角线的线)上表示像素值相差为 1 的像素对, 再次的对角线上为像素值相差为 2 的像素对, 依次类推, 离对角线越远, 则表示像素值对的灰度差距越大

GLDV: Grey-Level Difference Vector

GLDV 就是 GLDM 平行于对角线的线上的元素之和. 比如 \(\eqref{eq:2}\) 式的 GLDV 和归一化矩阵 GLDV 如下表所示

\[\begin{equation}\begin{array}{c|c|c} \text{像素对之差} & \text{出现的次数} & \text{归一化} \\ \hline 0 & 16 & 0.666 \\ 1 & 6 & 0.250 \\ 2 & 2 & 0.083 \\ 3 & 0 & 0 \\ \end{array}\end{equation}\]

从 GLDV 中可以看出示例图像中绝大部分都是和邻居像素值相等的像素对, 少部分突变在不同的像素区域之间产生.

参考文献


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